中国剩余定理的典故

中国剩余定理的典故

中国古代数学在历史上取得了辉煌的成就，今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理。

首先，我们要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是，则有除以3余2，除以5余4，除以7余6. 我们也可以用同余式来表示这个问题：我们发现，若将，则可以同时被3、5、7整除，即所以一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则所以即其中是正整数，当时这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。

实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中： “ 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 转化为现代数学语言，即解整数满足的同余式这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》： “ 三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。 这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。根据这个算法，可得：因此物不知数问题的最小正整数解即为，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为其中是自然数。

对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：我们把这个问题分解成三个同余式方程组那么初始问题就有最小正整数解因此只要能找到满足条件的即可。以为例，由同余式可得，因此所以存在使得因此其中的存在性可以证明，因为有如下定理： “ 若，则必然存在使得对于这个定理的证明，可以考虑集合中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。考虑其中最小的正整数，，只需证明且，由于互素，所以只能为1.这件事可以用反证法证明：若不能整除，则必有因此因此余数也可以表示成一个整数乘以加上另一个整数乘以的形式，又因为是小于的，这就和最开始的假设是最小的正整数相矛盾了，因此必有因此存在性得证。事实上这样的不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以，同理可得，，因此这类问题就有了通解：原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！一般来讲，给定个不同的素数，则同余方程组一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系:因此有因为都是素数，因此的存在性是显然的。求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。2024-12-13